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矩形的性质
涂红琴
www.zgxzw.com  2019/11/29 13:44:13
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《矩形的性质》是人教版八年级下册的一个内容,是特殊平行四边形出现的内容。教师从其特殊性下手,借助几何画板动态展现角的变化,通过观察、思考、合作、探究、猜想、论证等活动,让学生感知矩形的特殊性,从而得到其性质,并验证、运用性质解决实际问题。本节课教学方式灵活多样,凸显了“合作探究,学为中心”的理念。

教学实录:

一、明确目标,自主学习

师:今天我们来学习矩形,请大家齐读学习目标。

学习目标:

1. 理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别和联系。

2. 探究并证明矩形的性质,会用矩形的性质解决简单的问题。

3. 探究并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理。

师:请同学们带着问题完成课本预习。(PPT展示问题,学生安静预习,时间5分钟)

预习课本52-53页,思考:

1. 矩形的定义是什么?

2. 矩形与平行四边形有何区别和联系?

3. 矩形有什么性质,你能证明吗?

二、创景激趣,点燃希望

师:研究三角形问题,如果将边特殊化,可以得到什么三角形?

生1:等腰三角形。

生2:等边三角形。

师:如果将角特殊化呢?

生(齐答):直角三角形。

生(部分):等腰直角三角形。

师:很好。类比三角形的学习,平行四边形也可以将其边、角特殊化。今天我们研究将角特殊化(插入几何画板,动态演示平行四边形角的变化情形,演示完毕后定格在矩形),这就是矩形。

师:能不能给它一个定义?

生3:有一个角是直角的平行四边形是矩形。

师:能不能举个生活中矩形的例子?

(学生众说纷纭,列举了书、本、门、窗、黑板等,教师也用PPT图片的方式给出不同的矩形在生活中的实例)

三、个性指导,合作探究

师:作为特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质。还有哪些性质是平行四边形所没有的呢?研究平行四边形的性质是从边、角、对角线等方面进行,矩形也从这几个方面进行,小组讨论一下矩形具有哪些平行四边形没有的性质?

(全班学生分成6个小组,每组6-7人,前排学生后转,拿着书本、纸笔与本组同学交流,教师在教室查看、聆听、指导,时间约5分钟)

师:请小组代表分享讨论结果。(教师在黑板上纵向板书边、角、对角线)

生4:边与平行四边形是一样的,两组对边分别平行,两组对边分别相等。角也是,两组对角相等,并且四个角都是直角,都等于90度,对角线互相平分。

(师板书“猜想1,四个角都是直角”)

师:说得很全面,还有没有补充?

生5:对角线相等。

(师板书“猜想2,对角线相等”,并用符号}将板书结果串联)

师:这是我们小组讨论得出来的猜想,需要验证这两个猜想,先来验证猜想1:矩形的四个角都是直角。(PPT给出)

求证:矩形的四个角都是直角

师:文字证明的步骤是什么?

生:先要给出已知、求证。

(PPT给出文字及图形)

已知:四边形ABCD是矩形,∠A=90°;

求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90°

师:怎样证明?

生6:∵ABCD是矩形,也是平行四边形。

∴AD∥BC,∠A=∠C,∠B =∠D,∴∠A+∠B=180°

∵∠A=90°

∴∠B=90°,∠C=90°,∠D=90°

(学生口述证明过程时,教师熟练调出白板笔,在白板上书写规范标准的证明过程,并修正学生的赘述)

师:猜想1通过了验证(同时将猜想1擦去,换成定理,将“边”字擦去换成“矩形的性质”),继续猜想2的验证。(PPT给出)

求证:矩形的对角线相等

师:已知、求证是什么?

生7:已知矩形ABCD,求证:AC=BD(师给出图形及规范的已知、求证)

已知:如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC、BD交于点O

求证:AC=BD

师:请两个小组派代表上台完成证明,其他同学写在草稿本上。

(两名学生上台演板,其他学生动笔,教师在过道中巡视,有完成的学生主动交到教师手中,教师快速阅览并低声指导,待演板学生完成,回到讲台,教师进行点评,两位学生的解答几乎一样,都是证明△ABC与△DCB全等,教师纠正了其中一个字母书写的错误)

师:还有不同的证明方法吗?

生8:还可以用勾股定理证明。

∵AB=CD,

∴AB2+BC2=CD2+BC2,

也就是AC2=BD2,

∴AC=BD

师:能想到用勾股定理的知识来证明猜想2,可谓是学以致用。经过了验证的猜想就是定理(擦掉“猜想2”)。在例题中符合定理条件就可以直接用,这两条定理的条件是?

生:ABCD为矩形。(师板书两条定理的几何符号语言)

∵四边形ABCD是矩形

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°

AC=BD,OA=OB=OC=OD

师:矩形是轴对称图形吗?

生(齐答):是。

师:它有几条对称轴?

生9:4条。

生10:2条。(师让学生辨析)

师:怎么画对称轴?

生11:取两组边的中点,两组对边的中点,然后连起来。(师给出图形)

师:对称轴是一条直线,沿着对角线折叠图形的两部分不能完成重合,所以只有两条对称轴。

四、交流展示,达成目标

师:我们来比较一下平行四边形和矩形。

(白板以表格的形式呈现平行四边形与矩形的区别和联系,教师从边、角、对角线、对称性四个方面进行了归纳与解读)

师:上节课研究三角形的中位线用平行四边形来解决,矩形也有这样的妙用。Rt△ABC中,BO是一条怎样的线段?它的长度与斜边AC有什么关系?能扩展到所有的直角三角形吗?这一结论如何用文字表述?

生12:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。(师用几何符号语言板书)

Rt△ABC中

∵0为AB的中点

∴OC=OA=OB

五、巩固拓展,再激希望

(PPT给出,学生先思考,后回答)

3个学生正在做套圈游戏,他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处,目标物放在斜边的中点处,3个人的位置对每个人公平吗?请说明理由。

生13:是公平的,因为OA=OB=OC

师:理由?

生14:因为ABC是直角三角形,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

(PPT给出例1,学生先动笔写,然后白板演示台展示并解说自己的答案,教师巡查、指导)

例1 如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,且∠AOB=60°,AB=4cm。求矩形对角线的长。

师:非常好,看来同学们已经掌握了矩形的性质,下边难度升级。

(PPT给出例2,一时无人应答)

例2 矩形ABCD中,P是AD上一动点,且PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F。求证:PE+PF为定值。

师:看来有一定难度。垂直与高有关,同学们不妨从面积思考。

生15:连接OP,变成两个三角形的面积,但△AOD的面积不知道啊?

师:快接近答案了,留给同学们下去讨论。今天这节课我们学习了矩形的定义和性质,以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,还需要通过习题来巩固。

教学反思:

本节课具体优点有:第一,教师个人专业素养较高。教师语速不疾不徐,语言干净利索且非常严谨,板书设计精巧,几何画板运用娴熟,教态自然大方,具有亲和力,并能把握学生的学习心理,有效激发了学生的学习兴趣。

第二,教学环节设计合理。按照“新希望·共生”课堂的五个环节,合理设置,逐层推进,学生先感知,后探索,再猜想、求证,循序渐进,螺旋攀升,保持了数学知识的连贯性、思想方法的一致性。

具体不足有:第一,目标的完整性有待补充。本节课PPT给出的是学生的学习目标,是从知识与技能角度出发,虽然教师在教学过程中渗透了从一般到特殊、猜想验证的数学思想方法,但也应适当点拨一下,让学生明了。建议在课程结束之前,做一个目标的回顾,总结本课的同时,问问学生是否达成目标,做到首尾呼应。

第二,合作学习还需要进一步优化。学生在小组合作学习的过程中,分工不明确,如何借助小组的力量调动后进生积极参与课堂还有待提高。

第三,时间分配上可以适当调整。本节课教师没有时间做课堂小结,建议在矩形性质2的证明环节适当压缩。学生板书结束,教师应立即结束巡视,进行下一个环节,此处略显拖沓,时间可适当压缩。

(作者单位系湖北省武汉经济技术开发区第二初级中学)

 
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